Первоначально обратимся к словарю Ожегова (он более современный, чем словарь Даля, Вы же в самом деле не используете все слова именно в том смысле, который вкладывали в них люди XIX века):

1. КРАЙНИЙ, -яя, -ее. 1. Находящийся на краю чего-н.; наиболее далекий. Кдом на улице. На Крайнем Севере (к северу от Полярного круга). 2.Предельный, последний. К. срок. В крайнем случае (при острой необходимости).3. Очень сильный в проявлении чего-н., исключительный. Крайняянеобходимость. Крайние меры. К. реакционер. Крайне (нареч.) важно. * Крайняяцена — такая, к-рая единственно возможна (самая низкая или самая высокая).По крайней мере — хотя бы только; не меньше чем. Долго трудился, но покрайней мере видны результаты. Жди по крайней мере три часа.

2. ПОСЛЕДНИЙ, -яя, -ее. 1. Конечный в ряду чего-н. Видимся в п. раз. П. вочереди. В последнем счете (в конечном счете, в итоге). Сражаться допоследнего дыхания, до последней капли крови (перен.: до конца; высок.). 2.По времени находящийся в конце какого-н. ряда событий, явлений, завершающийсобою этот ряд. П. день отпуска. Последние числа месяца. Последняя встреча.П. сын в семье (самый младший или единственный из оставшихся). П. бой.Последние деньги (те небольшие деньги, к-рые остались). Последнюю рубашкуотдает кто-н. (о том, кто щедр, готов делиться с другими). 3. Самый новый, только что появившийся. Одет по последней моде. Строить по последнему словутехники, П. номер журнала. 4. Окончательный, бесповоротный. Это моепоследнее слово. Последнее решение. 5. Совсем плохой, самый худший (разг,).Это уже последнее дело (никуда не годится). Изругать последними словами(непристойно). П. негодяй так не сделает. Последняя спица в колеснице (отом, кто не имеет никакого влияния, значения; разг.). 6. Этот, только чтоупомя-нутый (книжн.). Пришли Иванов и Сидоров, п. — с опозданием. 7.последнее, -его, ср. Все то немногое, что осталось. Последнего не пожалеет -отдаст. До последнего (до крайней возможности). Делиться с кем-н.: изпоследнего. * Последняя воля (высок.) — последнее желание умирающего.Последнее прощание (высок.) — прощание с умершим. В последний путь провожатького (высок.) — хоронить. Последний долг отдать кому (высок.) — почтитьпамять умершего, прощаясь с ним при погребении. За последнее время или впоследнее время, последнее время — в ближайшем прошлом и сейчж. До последнейкрайности дойти — до предела. Дай бог не последняя! (разг. шутл.) -говорится в знач.: выпьем (вина) и еще!

Теперь стоит обратиться к тому, что говорят об этой ситуации в профессиональных кругах (простите меня за тавтологию) данной профессии (нашел только два более-менее интересных источника):

I. Тысячи людей говорят: «Кто тут крайний?», подойдя к очереди за газетами… Это словоупотребление не может быть признано правильным и литературным. Если на вопрос: «В каком вагоне ты едешь?» вы ответите: «В крайнем!», у вас сейчас же потребуют разъяснить: от начала или от конца поезда, в первом или в последнем? У каждого ряда предметов по крайней мере два края, и слово «крайний» стало употребляться тут по нелепому недоразумению, ибо обычному слову «последний» в некоторых говорах народной речи придается неодобрительное значение – «плохой», «никуда не годный»: «Опоследний ты, братец мой, человек!» (Успенский Л. В. Слово о словах. Ты и твое имя. Л., 1962. С. 210).

Причина употребления в рассматриваемом выражении прилагательного крайний вместо последний названа Л. В. Успенским совершенно верно. Действительно, у слова последний есть обладающее негативной коннотацией значение 'низший в ряду подобных, самый незначительный из всех; очень плохой': последний негодяй, как последний дурак, ругать последними словами. Опасаясь назвать человека в очереди последним, говорящий тем самым избегает намека именно на это значение.

Но слово последний, как и многие другие слова русского языка, многозначное, среди его значений и такие, не имеющие никаких отрицательных коннотаций: 'самый новый'; 'современный'; 'только что появившийся': последние технологии, последние известия, строить по последнему слову техники и т. п. Тем не менее и в наши дни, как и полвека назад (несмотря на то, что очередей стало меньше), миф о недопустимости вопроса «кто последний?» продолжает быть на удивление жизнестойким. Любопытный факт: ведь у слова крайний тоже есть значение, обладающее негативной окраской; в живой разговорной и в публицистической речи это прилагательное иногда используется в значении ‘человек, на которого свалили ответственность за что-то плохое’: крайним сделали чиновника, поставившего подпись под документом (газ.). Тем не менее употреблению крайний вместо последний это не мешает: видимо назвать человека «без вины виноватым» представляется меньшим злом, чем назвать его «худшим».

На еще одну причину, по которой вопрос «кто крайний?» может быть более обидным, чем «кто последний?», указывает В. В. Колесов:

«Становясь в очередь, человек приветствует тех, кто некоторое время будет его соседом… Правда, уважительное пожелание здоровья в этом случае не совсем уместно, поэтому и возникло такое сочетание: «Вы – последний? Кто последний?» Непонятно, почему оно может кого-то обидеть, ведь спрашивая: «Кто последний?» – человек хочет узнать, по следу кого ему предстоит пройти. И верно, в таком выражении сохраняется исконное значение слова последний – тот, кто идет по следу, тот, кто торит тропу следующим за ним, или тот, кто сам следует за другими… Напротив, спрашивая: «Кто крайний?» – вы обижаете человека, потому что, во-первых, говорите не по-русски (в русском языке нет такого значения слова крайний: оно пришло из украинского), а во-вторых, как бы отстраняете его от очереди, уверяя его, что он «на краю», в стороне от ряда и потому вообще нарушает порядок. Тот, кто полагает, что слово крайний вежливее, чем последний, ошибается». (См.: Колесов В. В. Культура речи – культура поведения. Л., 1988. С. 234-235).

Однако далеко не всегда неоправданное употребление слова крайний вместо последний связано с опасением обидеть человека, назвав его «худшим». Подобная замена встречается и во многих других контекстах (к очереди отношения не имеющих), где она вызвана стремлением отгородиться уже не от значения «худший», а от основного значения прилагательного последний – 'такой, за которым не следует, не ожидается что-либо подобное'.

Хорошо известно, что употребления слова последний избегают носители языка, профессия которых связана с постоянным риском для жизни. Это летчики и космонавты, водолазы и альпинисты, артисты цирка и др. – количество таких профессий велико, хотя за употреблением крайний вместо последний закрепилась именно авиационно-космическая «принадлежность»: в «Большом словаре русского жаргона» В. М. Мокиенко и Т. Г. Никитиной слово крайний в значении ‘последний’ сопровождается пометами авиа., косм.1 Но из речи людей, которые, рискуя жизнью, выполняют свои профессиональные обязанности (и желание которых избежать двусмысленности сочетаний последний полет, последний прыжок и т. п. понятно и объяснимо), выражения наподобие крайний раз вместо последний раз, крайний день вместо последний день и т. п. если и не вошли еще в широкий обиход, то активно к этому стремятся. Подобная повсеместная замена прилагательного последний прилагательным крайний – не что иное, как грубое нарушение норм русского языка.

В.М. Пахомов,
кандидат филологических наук

II. Становясь в очередь, человек приветствует тех, кто некоторое время будет его соседом. Не в русском обычае молча войти в толпу и отстраниться от всех молчанием: вежливым словом он выделяет из массы людей нужные ему лица. Правда, уважительное пожелание здоровья в этом случае не совсем уместно, поэтому и возникло такое сочетание: «Вы – последний? Кто – последний?» Непонятно, почему оно может кого-то обидеть, ведь спрашивая: «Кто последний?» – человек хочет узнать, по следу кого ему предстоит пройти. И верно, в таком выражении сохраняется исконное значение слова последний – тот, кто идет п о с л е д у, тот кто торит тропу с л е д у ю щ и м за ним, или тот, кто следует за другими. Это понятно из сравнений прилагательного с причастием: последующий, то кто потом, а последний – тот, кто перед ним. Книжное последующий указывает на то, что человек становится последним, а русское слово последний значит лишь то, что по времени он самый недавний (только что начал очередь), а в пространстве – конечный в ряду других. В утешение обидчивым заметим, что в научной речи последний как раз уважаемое слово.

Напротив, спрашивая: «Кто крайний?» – вы обижаете человека, потому что, во-первых, говорите не по-русски (в русском языке нет такого слова крайний; оно пришло из украинского), а во-вторых, как бы отстраняете его от очереди, уверяя его, что он «на краю», в стороне от ряда и поэтому вообще нарушает порядок. Тот, кто полагает, что слово крайний вежливее, чем последний, ошибается.

Спорность в данном случае возникает от того, что русское слово последний в обычной разговорной речи получило нежелательный смысл ‘наименее важный' (как толкуют современные словари), даже 'низкий, плохой, худший, последний по качеству' (как понимал дело Даль). Случилось это не так давно в результате столкновения двух различных слов: русского слова последний в смысле «конечный по следу» и книжного церковно-славянского слова последний в значении «окончательный», а значит, «плохой».
Если же отвлечься от этого значения книжного слова, становясь в обыкновенную очередь, привычное выражение сразу получит свой простой «рабочий» смысл, как раз тот, какой и требуется в данном случае.

Русское слово, к тому же и оптимистично, и вовсе не подразумевает окончательности; ряд продолжается, он не закончен, и за последним придет п о с л е д у ю щ и й."

В.В. Колесов
профессор СПбГУ

Таким образом, подойдя к очереди в кассу или к врачу в поликлинике, грамотно спросить у людей: «Кто последний?»